Le point sur...

... QUELQUES ELEMENTS

Beaucoup de discussions, parfois stériles, nuisent au bon déroulement des recherches. C'est le cas par exemple, pour la spirale à quatre centres. Comment se trace-t-elle ?

C'est le cas aussi pour la table de Mendeleiev dans laquelle certains voient des erreurs et cherchent à tout prix à écrire Clesf au lieu de Clef.

Calculer le barycentre de 10 points pondérés est-il trop difficile pour qu'il y ait aucune chance que Max en ait caché un dans l'énigme 580 ?

EXPLICATIONS

La spirale à quatre centres

La table de Mendeleiev

Calcul d'un barycentre

COMMENT TRACER UNE SPIRALE A QUATRE CENTRES

Prendre un quadrilatère quelconque (en vert sur la figure). Inutile que ce soit un carré. Prolonger les côtés comme indiqué ci-contre. Les demi-droites ainsi tracées délimitent des secteurs, numérotés ici de 1 à 4. Chacun des sommets du quadrilatère est situé au centre du secteur qui lui correspond. Les sommets sont les centres des arcs de cercles qui constituent la spirale.

Commencer par exemple par le secteur 1. Placer le compas sur le centre qui lui correspond. Ouvrir le compas pour que le crayon soit situé quelque part entre le centre 1 et le centre 4. Tracer l'arc de cercle dans le secteur 1. Placer ensuite la pointe du compas sur le centre 2 et ouvrir celui-ci pour que le crayon soit posé à l'endroit où se terminait le premier arc de cercle. Tracer l'arc dans le secteur 2... et ainsi de suite.

La Spirale à Quatre Centres est une spirale décorative. Elle n'a aucun rapport avec les spirales d'Archimède ou de Fibonacci.

Piblo 24 novembre 1999

LA TABLE DE MENDELEIEV

Pour coder l'énigme 600, Max a utilisé la table établie en 1956 par la Commission Internationale de Physique (cf. tableau ci-contre). Non seulement les masses de l'époque, arrondies au dixième, sont rigoureusement identiques à celles du livre mais en plus, l'einsteinium qui venait d'être découvert quatre ans auparavant, avait pour symbole la lettre E (Ref. Larousse Encyclopédique du XXème siècle en 10 volumes, 1961 - article Chimie).

Dans la colonne de droite, figurent les masses atomiques telle qu'elles sont présentées, par exemple de nos jours, dans le Petit Larousse Illustré et diverses autres encyclopédies. J'ai arrondi certaines d'entre-elles au centième - inutile de trainer trop de décimales. Les masses qui figurent en rouge sont celles qui, arrondies au dixième, présentent des différences avec celles données par Max.

La table de l'Encyclopedia Universalis, recommandée par Mickey, souffre de deux exceptions par rapport à celle utilisée par Max: la masse atomique de l'Einsteinium était 254 et cet élément avait déjà Es pour symbole.

Elément	Sym.	Max	1956	1995
Carbone	C	12	12.010	12.011
Calcium	Ca	40.1	40.08	40.078
Chlore	Cl	35.5	35.457	35.453
Einsteinium	E(s)	253	253	252
Erbium	Er	167.2	167.20	167.26
Fluor	F	19	19.00	18.998
Hélium	He	4	4.003	4.003
Iode	I	126.9	126.91	126.90
Iridium	Ir	193.1	193.10	192.22
Lanthane	La	138.9	138.92	138.91
Azote	N	14	14.008	14.007
Sodium	Na	23	22.997	22.990
Oxygène	O	16	16.000	15.999
Phosphore	P	31	30.974	30.974
Rhénium	Re	186.3	186.31	186.21
Ruthénium	Ru	101.7	101.70	101.07
Soufre	S	32.1	32.07	32.066
Sélénium	Se	79	78.96	78.96
Uranium	U	238.1	238.07	238.03
Vanadium	V	51	50.95	50.942

COMMENT CALCULER UN BARYCENTRE

Le barycentre d'un objet est son centre de gravité. Pour cette raison, on le désigne par la lettre G. En mathématiques, on apprend à calculer le centre de gravité d'un certain nombre de points affectés d'un certain poids : "B vaudra 1, C vaudra 2, etc..."

En gros, il y a deux méthodes pour résoudre un tel problème : une méthode analytique qui utilise les coordonnées des points et une méthode géométrique. C'est cette dernière que je décris ici.

Commençons par calculer le barycentre de deux points, A et B, ayant respectivement les poids Pa et Pb. Le barycentre G est situé sur la droite AB de telle manière que la distance de A à G soit égale à

. On remarque que si Pa est égal à Pb, le centre de gravité est au milieu de AB. Si Pa est différent de Pb, lors le centre de gravité se trouvera plus proche du point ayant le poids le plus élevé.

Pour calculer le barycentre de 3 points, il suffit de calculer le barycentre G1 de deux d'entre eux, puis de lui affecter pour poids la somme des poids de ces deux points. On calcule ensuite le barycentre de G1 et du troisième point. Ce barycentre n'est autre que celui des trois points de départ.

Le barycentre des dix villes trouvées dans l'énigme 580, affectées des poids 1, 2, 3... est situé à environ 7 km à l'WNW de la basilique de Vézelay. On n'utilise pas Angers dans le calcul puisque cette ville a un poids nul.

De proche en proche, on peut calculer ainsi le barycentre de plusieurs points. Il est recommandé de regrouper des points, calculer leur barycentre, puis de calculer le barycentre de l'ensemble. Quelques astuces permettent de simplifier les différentes étapes.

Exemple de détermination du barycentre de 3 points

Dans l'exemple ci-dessus, G est le barycentre de B, C et D, affectés respectivement des poids 1, 2 et 3. G1 est un point intermédiaire : c'est le centre de gravité de B et de C. Il se trouve aux 2/3 de la distance de B à C. Les points D et G1 ayant le même poids, leur centre de gravité se trouve à mi-distance.